Тут больше, чем один вариант на самом деле.
1. В Mint'е был баг с похожими симптомами, когда установлено больше одного графического окружения. Если это тот вариант, то переключиться через Alt+2 или Ctrl+Alt+2 в терминал, удалить второе графическое окружение и перезагрузиться
2. Есть вариант, что что-то не так в файловой системой. Тут тоже переключиться в терминал, попробовать fsck. Если вдруг проблемы найдены, но не может починить, может потребоваться переключиться в другой уровень загрузки (init 3 или типа того, не готов сказать, что там в минте)
3. Есть вариант, что какие-то файлы повреждены, можно попробовать переустановить графическое окружение. Так же в терминал, и там "apt reinstall <название пакета, через который ставится графическое окружение>".
Можно посмотреть в логах, есть ли ошибки (если есть такие логи):
1. /var/log/Xorg.0.log
2. /var/log/messages
3. /var/log/syslog
4. /var/log/kern.log
5. /var/log/user.log
Больше по этой информации тяжело сказать, без логов и прочего.
P.S. Обновить пакеты пробовали?
P.P.S. Могут быть еще проблемы с драйверами видеокарты потенциально.