Возможно пишу поздно, но я тоже заинтересовался этой темой.
Видел пост, где говорится, что нужно купить для бота Username на Fragment
После этого можно отправлять custom emoji с помощью Parse_Mode
HTML:
<tg-emoji emoji-id='5368324170671202286'>*обычный стикер*</tg-emoji>
await bot.send_message(message.from_user.id, f"<tg-emoji emoji-id='5368324170671202286'>*обычный стикер*</tg-emoji>", parse_mode="HTML")
MarkdownV2:
[*обычный стикер*](tg://emoji?id=5368324170671202286)
await bot.send_message(message.from_user.id, f"[*обычный стикер*](tg://emoji?id=5368324170671202286)", parse_mode="markdown")
*Сам еще проверить не успел*