Большинство панелей управления позволяют прописать для сайта алиас - альтернативные доменные имена, по которым доступен тот же самый сайт. К примеру, большинство сайтов доступны как с www, так и без www (с точки зрения браузера и сервера это разные имена, но ссылаются они на один и тот же сайт). Также следует понимать, что некоторые CMS выполняют переадресацию в случае, если доменное имя не совпадает с указанным в их конфиге, в таком случае придётся ещё дополнительно их настроить, чтобы они так не делали.
Ну а если так оказывается, что старый и новый сайт на разных серверах, то есть смысл на старом сами внутренности сайта больше не держать, а проксировать на новый к примеру через proxy_pass в nginx.
