Все зависит от начальных условий.
Если условия "я тут мимо проходил, покажите какие кнопочки нажимать", то тогда скорее всего подойдут решения, предложенные выше. Но на более менее нормальном сайте (постоянная запись в БД, транзакции) не будет выполняться условие "Бэкап должен не мешать работе сайта"
В этом случае надо использовать
percona xtrabackup
Я, правда, в свою очередь не уверен в требованиях "Защищенная работа обработчика" и "возможность работы через ISPmanager".
Первое это какая-то непонятная чушь, а про второе я просто не в курсе. Никогда не пользовался этим мусором и никому не советую.