Как найти неизвестные параметры функции, зная ее значения?
Дано: Конкретная функция вида f(x) = 54,8-k(x-7)^n, где n≥2, x - натуральное число.
Требуется: найти неизвестные параметры k,n такие, что значения функции будут максимально приближены к данным:
f(x) X
0,4 1
0,9 2
4,4 3
22,5 4
39,4 5
51,6 6
54,8 7
54,1 8
50,3 9
42,6 10
35,2 11
26,4 12
14,4 13
--
То есть фактически дана функция, которая является временным рядом, нужно восстановить зависимость по имеющимся значениям так, чтобы ошибка была минимальной. Вышеописанное – конкретный пример, который не требуется решать, хотелось бы понять, каким методом можно выполнить поставленную задачу?
Алан Гибизов, Да, извиняюсь за неправильную формулировку вопроса. Естественно, хотелось бы получить не решение этой задачи, а просто понять направление метода решения.
Я пробовал решать методом построения регрессии, наименьших квадратов, но таким образом могу составить лишь другой полином, который будет описывать имеющиеся данные.
Хотелось бы понять, можно ли как-то найти именно неизвестные параметры функции, чтобы полином не менялся? И как именно это сделать
Алан Гибизов, для чётной положительной степени значения функции для 1 и 13 должны совпадать, а они различаются на 14 что трудно объяснить ошибкой измерения
Ну во-первых, возьмём x=8 и сразу получим значение k.
54,1=54,8-k(1)^n
k=0,7
Не очень сложно, правда?
f(x) = 54,8-0,7(x-7)^n
теперь это можно тупо забить в Excel (по строкам x, по столбцам разные n, рядом заданные значения f(x)) и посмотреть, что получится, можно даже построить графики.
Поскльку у вас уже жестко задан вид функции, то это задача на минимизацию функции ошибки (от n и k). Обычно мнимизируют сумму квадратов ошибок по всем примерам.
Аналитически, как в методе наименьших квадратов, приравнять производные по n и k к 0 похоже не очень получается. Придется использовать какой-то численный метод минимизации функции. Например, градиентный спуск или метод ньютона. Если похоже, что функция имеет множество локальных минимумов, то будет работать что-то более хитрое, как например, метод отжига.
