Typescript compiler - это инструмент проверки типов и компиляции typescript в javascript. Так же он умеет транспайлить конструкции новых стандартов js в более старые стандарты, но это не основная задача этого инструмента, и делает он это хуже целевых инструментов, в частности его можно настроить только на конкретный стандарт.
Babel - это инструмент для парсинга js кода в AST, обхода и модификации AST и обратной сериализации AST в js. Так же это еще и экосистема плагинов и пресетов. Плагины как правило реализуют транспиляцию одной из фич более нового стандарта в более старый. Пресеты - это просто конфигурируемый набор плагинов.
Так же в Babel AST есть поддержка некоторых расширений js (а ts - это тоже расширение js), но включается это все флагами.
В экосистеме babel есть preset-env нацеленный именно на транспиляцию более новых стандартов в более старые. Его особенностью является поддержка browserlist и подключения только тех плагинов, которые нужны для указанных браузеров. За счет этого получается более оптимальный js на выходе, так как многие фичи после транспайлинга работают медленнее чем нативные и занимают больше кода.
Еще в экосистеме babel есть preset-typescript, который включает поддержку ts синтаксиса и транспиляцию ts в js. При этом, в отличии от tsc, он не делает проверку типов, а некоторые сущности может обрабатывать неправильно (как и большинство сторонних компиляторов ts, т.к. у ts нет строгой спеки и единственным источником правды является код tsc, который далек от идеального).
Оптимальным по выходному результату (пусть и за счет времени сборки) будет вариант, когда сначала ts код обрабатывается через tsc без транспиляции в старые стандарты, а затем происходит транспиляция с помощью babel + preset-env + browserlist.
Простой
Средний
