Сперва избавимся от ключей, т.к. они не важны, получим массив значений:
const values = Object.values(obj);
Дальше есть такие варианты:
const result = values.flat().length;
// или
const result = [].concat(...values).length;
// или
const result = values.reduce((acc, n) => acc + n.length, 0);
// или
const result = eval(values.map(n => n.length).join('+')) ?? 0;
Это если делать коротко. Но можно и подлиннее, зато без создания промежуточного массива:
let result = 0;
for (const k in obj) {
result += obj.hasOwnProperty(k) && obj[k].length;
}