def some_name(message):
words = message.text.split()
words.remove('/change_nick')
# Соединяемся с базой но для простоты примера давайте представим что сохраняли это в словарик
if nick_names[message.from_user.id] == words[0]:
nick_names[message.from_user.id] = words[-1] # nick_names - хэш-таблица в которую мы сохраняли никнеймы в формате {id пользователя:его ник}