Надим

1. Использовать реальный браузер, управление браузером через расширение
2. Использовать сервисы для обхода, типа рукапчи https://rucaptcha.com/p/cloudflare-turnstile

Очевидно вы упирайтесь в лимит запросов, многие сайты так делают, даже я сам так делаю: если от пользователя поступило слишком много запросов, то текущий запрос тормозится пока не восстановится лимит.

Обходится такая защита обычно при помощи прокси, при помощи множества прокси.

Нажимай кнопки используя JavaScript.

Как это сделать на Python я не знаю, но на JavaScript это можно сделать аж 3 способами:
1. Использовать setTinterval для циклической проверки страницы, допустим, каждую секунду
2. Использовать событие DOMSubtreeModified и по факту изменений проверять страницу, данное событие хоть и морально устарело, но оно до сих пор рабочее
3. Использовать современный MutationObserver, чтобы обнаружить нужные изменения и мгновенно найти кнопку как только она появиться

Этого не достаточно, нужно чтобы JavaScript на странице понял, что текст в поле изменился.

После вставки, заставьте сработать обработчики, которые установил сайт на это поле:

document.querySelector('#search').dispatchEvent(new Event('input'));
document.querySelector('#search').dispatchEvent(new Event('change'));

Подробнее о браузерных событиях:
https://learn.javascript.ru/dispatch-events#metod-...

https://qna.habr.com/q/885545

Если вложенные домены с того же домена, можно банально заюзать contentWindow.

Используйте рукапчу для разгадки капчи, это стоит копейки и достаточно надёжно.

Я обычно в таких случаях тупо делаю в браузере несколько профилей и уже через них работаю. И да, для веб-ботов я использую не селениум, а обычный хром, при этом управляющий браузером код оформляю в виде расширения. Делать отладку одно удовольствие, все наглядно видно, как сам сайт, так и все что происходит в консоли.

В консоли браузера во вкладке Сеть изучите POST/GET запросы отвечающие за подгрузку контента и повторите их уже на своем сервере.

VDS + Chrome + Немного JavaScript.