Вероятно можно влезть в плагин contact form 7 и навесить каких-нибудь своих обработчиков, но не уверен - нужно смотреть.
Полностью своё решение - отказаться от плагина, сделать форму самому, обработчик формы будет создавать пост специального типа со всеми нужными полями и всем подобным. Это естественно будет видно в админке (или сделать вообще отдельную страницу под это) и там уже не проблема добавить кнопку "одобрено", которая отправляет эти письма.
