Евгений Хлебников

Чтобы заработала схема с разделенными почтовыми серверами вам необходимо чтобы один из них пересылал почту для ящиков, у него отсутствующих, на другой. Если ни на стороне reg.ru ни на стороне mail.ru почтовые сервера такого не умеют или не делают - простым способом разделить не получится

нормальным, 100% решением, будет поднять свой почтовый сервер. Популярный софт для почтовиков умеет пересылать "неизвестную" почту на другой сервер. В таком случае можно сохранить хостинг части почтовых ящиков на старом почтовом хостинге, но вся почта будет проходить через ваш сервер (стоящий выше всех в приоритетах mx записей)
Но это время на внедрение, затраты на хостинг и прочая, а вы - бюджет, бюджетные организации всегда пытаются игнорировать известное правило

Костыли (идеи что делать, впрочем, сохранить работу "по старому" не удастся в любом случае)
Если один из почтовых сервисов разрешает создание алиасов к почтовым ящикам (для ящика user1@domain.name можно добавить адреса user2@ user3@ ... user666@) то может помочь перенос почтовых адресов user2 - user666 на субдомен, используя правила пересылки на ящике user1@: если пришло письмо на user2@domain.name - переслать на user2@sub.domain.name и так далее. Это - миграция почти всех почтовых ящиков на субдомен, но при этом почту на основной домен для тех же учеток вы принимать сможете. Правда отправлять почту эти пользователи будут от субдомена.

1. обратите внимание на ответ hint000, мне кажется, его мнение будет полезно.

Я бы предложил следующий подход:
1. Полная настройка почтового сервера на новом хостинге. (SPF, DKIM, проверка в спам базах и тд и тп) - полноценная. Завести все почтовые ящики, аналогично имеющимся. Добавить в MX с более низким приоритетом. Проверить отправку почты через новый почтовый сервер (получать , из-за приоритетов MX он ее все равно не будет)
2. Подготовка к миграции почтовых ящиков. Хорошо, если есть локальные клиенты (не вебмейл) - часто у них есть возможность архивации, благодаря чему после перенастройки на новый сервис можно все довольно быстро восстановить - подготовить бэкап почтовых ящиков, персонально для каждого пользователя
3. миграция.
Если пользователей немного:
Переключаем MX, почта начинает идти на новый хостинг, но не сразу - часть писем придется ловить в старом и переносить дополнительно. Перенастраиваем почтовые клиенты на новый хостинг. Загружаем подготовленные архивы писем в клиенты.

Если пользователей много - процесс миграции может затянуться. В таком случае для бесперебойной работы необходимо настраивать пересылки между серверами почты, но далеко не все провайдеры электронной почты такое позволят сделать. Еще, если используется вебмейл - с предложенным вариантом архивации старых писем тоже возможны проблемы.
Как можно поступить в таких случаях - варианты есть, но все они потребуют как более широких, чем у вас, технических знаний так и опыта работы с данными сервис провайдерами

А что мешает воспользоваться готвоыми опенсорсными парсерами ?
Я такую задачу не решал, наш IT купил сервис
Но если бы решал - попробовал бы для начала поднять https://domainaware.github.io/parsedmarc/index.html

Прочитайте мануал от google
https://support.google.com/a/answer/9228551?hl=ru
Вне зависимости от того, какие почтовые системы у вас, он поможет понять какую логику сосуществования двух почтовых систем для одного домена нужно реализовать.

pdd.yandex.ru

если не изменяет память(никогда не делал, мы шли по другому пути миграции) то можно ваш почтовый домен в exchange сконфигурировать не как "Authoritative domain" а как "internal relay"

Думаю, в первую очередь стоит посмотреть, к какой сетевой карте из двух привязаны сервисы MDaemon.
И запустились ли они, сервисы, - читайте логи почтового сервера.
Может быть что-то мешает занять порты серверу, если с другими настройками все ок