Какая у вас посещаемость сайта? Она резко выросла в марте? Судя по статистике которую вы выложили - нагрузки у вас практически не было и она резко начала расти. Недавно был заказчик тоже на таймвебе с резко выросшей нагрузкой - оказалось его просто пытались взломать/положить сайт. После оптимизации и настройки базовой защиты нагрузка на сервер стала 1-2 единицы из 50 разрешенных и на БД не больше 50 из допустимой 1000. И это при условии что на хостинге 8 сайтов, на каждом посещение от 50-100 человек в день.

Для начали включите логи (на таймвебе их надо для каждого сайта включать самому). Посмотрите что в них, возможно стоит просто занятся сайтом а не переходить на VPS...

Бюджет 1-2, макс. 3 тыс $.

С вашими требованиями легко вписаться в данную сумму, сразу и с дизайном, и созданием сайта, и с наполнением первых 200 товаров.

Стоит ли останавливаться на CMS или сразу делать магазин под свои нужды? Если стоит использовать CMS, то какие подойдут исходя из вышеуказанных требований?

CMS для ваших нужд хватит с головой, я бы советовал WP(Woocommerce) допиленный под ваши требования или OpenCart. Обычно клиентам делаю на WP так очень быстро можно админку подогнать под требования клиента (убрать лишнее чтобы контент менеджеры не путались в админке, вывести нужные разделы и кнопки на вид, чтобы их не пришлось искать).

Какие СУБД использовать? И правильно ли я понимаю, что если юзать CMS, то придется довольствоваться той СУБД, которая входит в состав движка?

Можно использовать разные CMS, но обычной MySQL достаточно, для скорости можно настроить кэширование, сжатие и подключить Redis. Сайт будет летать. По личному опыту - до 8-10 тысяч товаров, можно не сильно задумываться о какой то особой оптимизации сайта.

Пока что на слуху WP + WooCommerce. Что Вы думаете об этом решении? Подойдет ли?

Выше расписал что подойдет.

Стоит ли делать адаптивный магазин под мобильные устройства или лучше, чтобы мобильная версия никак не касалась десктопной?

Адаптацию конечно нужно делать, та и в принципе не слышал чтобы ее сейчас не предлагали в стандартный пакет услуг при создании сайта. Адаптация под мобильные устройства делается по-умолчанию. Также она положительно влияет на SEO оптимизацию.