сам слайдер работает и для элементов .slick-dots переключает .slick-active как надо, другое дело, что заливка кружка у вас никак не привязана к этому классу, а делается с помощью js по клику
js здесь и не нужен, достаточно написать стили для активных точек
.slick-active:nth-of-type(1) > button {
background-color: #e64e4e !important;
}
.slick-active:nth-of-type(2) > button {
background-color: #f7a550 !important;
}
/* и так далее */
!important соотв. не нужен, если уберете скрипт добавляющий инлайн стили