let str = 'Слово';
str.match(/[ауоыиэяюёе]/ig).length;
// 2
//-------------------------------------
UPD// variant 0
var str = 'Пользователь задает слова и нужно найти слово, которое содержит наибольшее количество гласных букв через регулярные выражение';
var words = str.split(' ');
var wordLength = [];
words.forEach(word => wordLength.push([word.length, word]));
var maxWord = wordLength.sort((a, b) => b[0]-a[0]).slice(0, 1)[0][1];
// variant 1
var str = 'Пользователь задает слова и нужно найти слово, которое содержит наибольшее количество гласных букв через регулярные выражение';
var words = str.split(' ');
var wordLength = {};
words.forEach(function(word){
wordLength[word.length] = wordLength[word.length] || [];
wordLength[word.length].push(word);
});
var maxWords = wordLength[Object.keys(wordLength).sort((a, b) => Math.max(a,b)).shift()];