Ninja Mate

Вам нужно слушать componentWillReceiveProps:

componentWillReceiveProps(nextProps) {
  this.setState({ id: nextProps.id })
}

Плюс почитайте как не нужно использовать state: https://facebook.github.io/react/tips/props-in-get...

А хромовский дебаггер не помогает?

Вы банально теряете указатель на this:
<Input ... onChange={this.change}>

Попробуйте сделать автобинд:

change = () => {
        console.log("WTF");
        this.setState({ open: !this.state.open })
    };

UPD1
Или биндите ее в конструкторе (равносильно методу выше, но это не удобно)

constructor(...args) {
        super(...args);
        this.state = {
            open: false,
            value: 'select'
        };
        this.change = this.change.bind(this)
    }

...
handleChange(source, event){
   // source содержит имя элемента, сгенерировавшего событие: Comp1 или Comp2
   ...
}

render(){
   ...
  <OneComponent ... onSomeEvent={this.handleChange.bind(this, "Comp1"} />
  <OtherComponent ... onAnotherEvent={this.handleChange.bind(this, "Comp2"} />
   ...
}
...

Используйте https://github.com/brigand/react-mixin

Бывают изоморфные приложения - они действительно без node не запустятся. По факту разработка происходит так - ты пишешь код react + jsx + ES6 + ... . Затем скармливаешь все это вебпаку (а он babel'у) и на выходе у тебя получается транслированный .js файл, который можно просто подключить как любой другой файл и все будет работать. Можно делать это рантайм - но я таким не занимался и не очень понимаю зачем это делать в реальных проектах.