Постоянная работа node js, как реализовать?

Пардон, только сейчас понял, что практически продублировал ответ Алексей Ковалёв

Как правильно изменять store во Vuex?

Изменять стейт напрямую, конечно, можно, но является дурным тоном и плохой практикой.

Как вызвать функцию на клиенте из Node JS?

А вы selenium используйте для парсинга?

Как сделать поисковую оптимизацию Vue-приложения?

Полагаю, SSR вам поможет. Насколько я помню, нугл при индексации рендерит через Chrome 41, соответственно, если в нем всё нормально, скорее всего, нугл проиндексирует правильно. Обратите внимание на атрибут href всех ссылок, он должен быть указан везде в html, насколько я знаю.