Troodi Larson

Можно. Смотрите, если передается такой параметр и ставите куку. Технически так.

Animate

Используйте JQuery и метод hide() и show() при клике на нужный вам элемент.

Сделано это с помощью JS и сокетов. Это отвечает за отправку и получение сообщений.
Плавающее окно это просто css+html.
Сохранение происходите скорее всего в сессии, в ней хранятся последние действия.

Явно надо смотреть на разницу выполнения кода.

Использовать jquery + ajax при необходимости, там всё достаточно просто делает с помощью append, например.

Если у вас находится в div то при нажатии на ссылку, onlick, допустим, прячьте этот див.

JavaScript использовать, отлавливайте завершение ввода, удобным для вас способом, а затем переносите в нужное место.

Только js тут не обойтись. Я считаю что использовать js для скрытия контента не очень хорошо, т.к. если у пользователя отключен js в браузере то он ему будет показан. Но если цель другая, то можно сделать так: скрытый контент поместить в div и проверять js можно или нельзя показывать контент и показывать сообщение, о том что надо пройти авторизацию или наоборот через POST загружать в этот div информацию.

Веб очень перспективна. Прикладные программы без веба никому не нужны. А веб работает сам на себя.

LocalStorage лучше использовать иногда, если например надо большое количество данных записать.