$g_recaptcha_response = trim($_POST['g_recaptcha_response']); // то, что пришло в POST Запросе
$remote_ip = !empty($_SERVER['HTTP_X_FORWARDED_FOR']) ? $_SERVER['HTTP_X_FORWARDED_FOR'] : $_SERVER['REMOTE_ADDR']; // если используется nginx, то берем реальный IP пользователя
$secret = '__YOUR_SECRET_KEY__'; // ваш секретный ключ
$response = file_get_contents("http://www.google.com/recaptcha/api/siteverify?secret={$secret}&response={$g_recaptcha_response}&remoteip={$remote_ip}");
$response = json_decode($response, true);
$is_valid = isset($response['success']) && $response['success'];
if ($is_valid) {
// выполняем действия дальше
} else {
// проверка не прошла
}