Сергей

Практика - лучший учитель) Попробуй начать что-то делать, всегда помогает)

после ajax-загрузки инициализируй слайдер заново)

Возможно в этом дело...

$(".category_title").on('click touch', function(){ /* bla bla bla */});

можно обернуть label в какой-нибудь контейнер, например: newtabs-trigger.
Классами управлять состоянием табов.

Вот такую структуру можно сделать:

<div class="newtabs-trigger">
    <label><input type="radio" id="rad1" value="1" name="rad" class="rad" checked /> Один</label>
    <label><input type="radio" id="rad2" value="2" name="rad" class="rad" /> Два</label>
    <label><input type="radio" id="rad3" value="3" name="rad" class="rad" /> Три</label>
    <label><input type="radio" id="rad4" value="4" name="rad" class="rad" /> Четыре</label>
</div>

<div class="newtabs-container">
    <div class="tab is-active">111111111111</div>
    <div class="tab">222222222222</div>
    <div class="tab">333333333333</div>
    <div class="tab">444444444444</div>
</div>

<script>
// отталкиваемся от документа, на случай, если будет ajax-запрос, чтобы скрипт не отвалился
$(document).on('click touch', '.newtabs-trigger label', function () {
       
       //тут мы определяем индекс элемента, по которому пришелся клик
        var index = $(this).index();

         // убираем у всех класс active(в css нужно прописать на класс active нужные свойства)
        $('.newtabs-container .tab').removeClass('is-active');

       // проверяем у каждого .tab индексы и сравниваем с индексом label
        $('.newtabs-container .tab').each(function () {
            if ($(this).index() == index) {
                /* если индексы совпадают, то ставим на .tab класс .is-active и показываем его.
                   Например, на .tab.active стоит display: block, а по умолчанию у блока стоит display: none;) */
                $(this).addClass('is-active');
            }
        });
});
</script>

P.S: Ещё можно допилить в скрипт добавление класса на label
P.P.S: хотел бы увидеть решение от более опытных разрабов + готов к критике)

Чтобы решить, нужна ссылка. Ибо сейчас все выглядит так... У меня автомобиль не работает, высылаю фото, скажите как решить эту проблему? =)

Нужна конкретика(скриншот - лучшее решение), там много вижу недостатков)