Нужно сохранить ссылку на функцию:
fun('Прошло 5сек');
function fun(str) {
var timerLogout;
var handler = resetTimer.bind(null, str);
document.addEventListener('mousemove', handler);
resetTimer(str);
function resetTimer(str) {
clearTimeout(timerLogout);
timerLogout = setTimeout( function() {
RemoveEventListener(str);
}, 5000);
}
function RemoveEventListener(str) {
console.log('RemoveEventListener вызвана, удаляем прослушивание');
document.removeEventListener('mousemove', handler);
console.log(str);
}
}