Ох, ну тут всё неправильно.
Не надо пихать ещё одну функцию send_message внутри send_message. Их надо вынести на один уровень. И вообще, назвать более адекватно их содержанию. Ведь первая обрабатывает команду /weather, а вторая - название города. Странно называть их одинаково неопределённым send_message (чтоб враги не догадались?).
Что происходит в этом коде? Сначала мы регистрируем обработчики команд /weather и /start с помощью декоратора. При вызове /weather мы КАЖДЫЙ раз (ведь это часть функции-обработчика на следующем уровне вложенности!) заново определяем обработчик для content_type=text. Далее после первого вызова /weather этот обработчик начинает работать на все текстовые сообщения. Причём на сообщения ВСЕХ пользователей нашего бота. То есть реально, один вызывает /weather и тем самым изменяет поведение бота для всех пользователей сразу. Если в боте будет где-то ещё определяться таким же "внутренним" описанием ещё один обработчик content_type=text, то он будет всегда игнорироваться до следующего перезапуска бота, ведь один обработчик текстовых сообщений уже есть и он всегда будет применяться.
Чего удивительного в том, что бот работает ровно так же странно, как странно написано в его коде?
Надо понимать, что обработчик сообщения принимает ОДНО сообщение и его обрабатывает. Он не может принять сообщение и ещё сразу же следующее. Каждое обработается своим обработчиком. Чтобы обработка сообщений зависела от ряда сообщений, используют FSM (Finite State Machine), машину состояний. В telebot есть довольно простая в использовании FSM на основе вызова register_next_step_handler. Вызов register_next_step_handler переопределяет то, каким обработчиком будет обработано следующее сообщение с этим пользователем (точнее, в этом chat_id, который может быть и идентификатором группы).
Собственно, принцип работы такой: когда пользователь вызывает /weather, мы должны с помощью вызова bot.register_next_step_handler зарегистрировать кастомный обработчик следующего сообщения. Этот обработчик будет обрабатывать только сообщения этого пользователя, подобное поведение не будет влиять на других пользователей. Для более сложных взаимодействий можно делать длинные и даже ветвящиеся цепочки обработчиков, спрашивать у пользователя разные данные, предлагать изменить ранее введённые данные итд итп.
Официальный пример использования смотреть
тут.
