Saboteur

Логика потребителя может быть и просто поиск конкретного врача, и просмотр его квалификации.

Преимущества клиники обычно две штуки:
Локация и удобный проезд (хорошо если на сайте есть карта)
Отзывы, хотя бы похожие на реальные.

1. Какую CMS или SaaS выбрать? - с интуитивно понятным управлением, настройкой. Чистым системным (настраиваемым дизайном, "внутренностями")

Нужно понять для чего. CMS могут иметь специализацию. Сейчас популярны WP и битрикс

2. Как изучить более глубже языки разметки? - Может посоветуете какие-то ресурсы, где можно "проще" усвоить их.

Читать документацию по html5/css, пытаться реализовать отдельные фичи с нуля.

3. Какой хостинг выбрать для данных дел? - Для начала бесплатный или условно-бесплатный, чтобы на время изучения сайт был доступен. Для установки дизайна и аудита юзабилити (веб-визор яндекса, направлять людей смотреть сайт).

Поднять можно и на домашнем компе, если есть белый статический IP. И вообще белый статический IP дома это полезно для любого айтишника.

4. Как более точно понять свое направление? - Т.е. возможно сами сталкивались с данным вопросом - дизайн, верстка, программирование? - для дальнейшего применения знаний для например фриланса или стоков для получения выгоды материально.

Направление понять невозможно. Просто учитесь что-то делать и делаете это. Чем больше учитесь, тем больше будете делать. А направление нужно искать примерно во время окончания школы, в крайнем случае института, так как "талант" это на самом деле использование уже имеющегося опыта. Может в детстве удачно рисовалось и дизайн благодаря этому будет идти легче. Опять таки, человек - существо с высшей нервной деятельностью, и как ваш жизненный опыт сможет помочь освоить отдельные технологии - можете знать только вы, после того как попробуете.

Чтобы заниматься тем что вы написали, и ничем больше не заниматься, нужно делать это на очень высоком уровне. Сайтам начального уровня отдельный специалист по UI вообще не нужен - стандартных шаблонов выше крыши.

Большим проектам отдельный специалист уровня джуниор тоже вообще не нужен. Минимум мид а лучше сеньор.

Итог - за 3 месяца невозможно.

Если дядя начальник решил, что сисадминам (которые по долгу своей службы обязаны пользоваться интернетом для чтения справки, поиска полезной информации на хабре/стэковерфлоу/википедии, сайтах самих продуктов; для скачивания обновлений и чтения release notes; и многое многое другое), я бы валил с такой работы. Пусть дядя начальник сам админит.

P.S. Тихонько поднять прокси сервер на любой из рабочих станций, где есть инет, и ходить через него. Можно поднять на нескольких, и периодически менять настройки прокси, чтобы не создавать слишком много левого трафика у конкретного пользователя, если это отслеживается.

Все эти программы - лишь инструменты.
Если посмотришь в магазине домашних инструментов, возможно удивишься, но даже разновидностей молотков можно найти штук 5-10.
Работай в том, что тебе больше подходит. Ну и PS и AI работают с растром и вектором, то есть уже РАЗНЫЕ вещи.
Не забывай, что кроме веб дизайна есть еще куча вещей, где нужно рисовать, чертить и работать с графикой.

Интерфейс роутеров не пользовательский.
Это для админов, поэтому особого значения внешнему виду не придают, и деньги в разработку красивых интерфейсов не вкладывают.

Расскажите, какая у вас дома мебель. Вы лично выпиливали каждую деталь лобзиком, заказывали по специально изготовленным для вас эскизам, или купили унылую шаблонную мебель?

Просто правильно расставьте приоритеты - вам нужен индивидуальный дизайн, и у вас для этого есть и время и желание и деньги и польза, или вам подойдет шикарный сайт, но да, с некоторой вероятностью что у кого-то в интернете найдется похожий, поскольку использовался один базовый шаблон.