res2001

У Бизли есть неплохое введение в написание модулей на Си. Можете начать с него, а за деталями в родную документацию.
Раз вы собрались рисовать графики, то, видимо нужно передавать в питон большие массивы данных.
Для этого можно реализовать в модуле buffer protocol. numpy умеет работать с такими массивами.
Так же можно создавать в модуле сразу массивы numpy, для этого надо использовать Numpy C API.

В VS куцая реализация комплексных чисел.
Там нет реализации типа complex и нет полноценного понятия "i".

Из-за этого вы не можете объявлять и инициализировать комплексные числа так как в вашем примере (и в стандарте).
Для инициализации комплексных чисел можно использовать макросы: _FCbuild(re, im)/_CBuild(re,im)
приставка F - для float, С - для double.
Само по себе комплексное число объявлено так: double _Val[2];
И другие варианты для float и long double.

Нет реализации встроенных операций (+-*/), т.е. нельзя написать z1 + z2 - будет ошибка компиляции.
Для умножения реализована функция, остальные операции реализуйте самостоятельно.
Но в библиотеке есть набор математических функций для комплексного аргумента, что уже хорошо.

Фактически, вы можете не использовать предлагаемый микрософтом тип _C_float_complex (или аналоги), а использовать более понятную собственную реализацию, например такую как предложил Павел Математические библиотечные функции буду с ней работать нормально (при определенных условиях), только нужно будет постоянно приводить типы.

В общем открывайте complex.h из состава VS и изучайте, он достаточно простой.

PS: В gcc полная реализация в соответствии со стандартом.

Почитайте что-нибудь о структурном программировании.
Что бы лучше понять методы структурного программирования, просто запретите себе использовать goto. Вы быстро с ним освоитесь, когда будете пытаться придумать способ обойтись без goto.

Причем здесь Си?
1.у вас скриптовый Си подобный язык - это совсем не то что Си
2.Си окон не рисует и ими не управляет
3.Как вы себе представляете подгон длины строки (сокращать слова, заменять на более короткие синонимы, добавь свой вариант)? Си тем более этим не занимается. Это уже лексический анализатор какой-то. Оно вам надо?

Может вы просто определитесь с примерным количеством символов в строке (которое влазит в удобный вам размер окна) и будете формировать строки нужной длины сами?

Вам же элементарно нужно строку сформировать.
В цикле по массиву koef бежим:
1.если коэффициент не 0:
1.1.выводим сам коэффициент из массива
1.2.Если коэффициент не последний: выводим строку "x^" + str(degree - i)

В первом случае первая итерация цикла выполняется вне цикла (отсюда и больше размер). Во втором варианте все итерации выполняются в цикле.
Код внутри цикла один и тот же. Скорость исполнения будет одинакова.
Разница только в том, что первый вариант на несколько байт больше размером.
Кстати, gcc показывает идентичный код в обоих случаях.

Предлагаю еще такой вариант:

int str_cmp1(const char *s, const char *t)
{
 while (*s == *t++ && *s != '\0')  ++s;
    return *s - *t;
}

Обратите внимание на то как объявлена функция:
int sum (int n, int matrix[n][n])
И на то как вы ее вызываете:
sum_of = sum(matrix[][]);
Надеюсь дальше разберетесь сами.

Добавьте в свойства проекта путь к заголовочным файлам этой библиотеки: Configuration properties->C/C++->General->Additional Include Directories

Что такого страшного вы нашли в структурах по сравнению с обычными массивами не в структурах?

c.doctor[0] = 3.14;
c.doctor[15] = 6.28;
c.bank[5] = 0;
strcpy(& c.name[0], "Yes");

1. Вы полностью игнорируете размер прочитанных данных, которые возвращает recv.
recv - не обязуется прочитать то количество данных, которое вы ей передаете как размер буфера. Она возвращает реально прочитанное количество данных.

2. При получении информации по сети не гарантируется, что отправляемые данные придут все за один раз (и так же прочитаются recv), они могут фрагментироваться, задерживаться, сцепляться со следующими пакетами и т.п.
Разбор полученных данных ложится на принимающую сторону.

3. В данных, возвращаемых recv, обычно нет нулевого символа в конце строк. Т.е., если вы ждете строку, то для дальнейшей работы с полученными данными как со строкой вы должны сами обозначить конец строки - принудительно проставить нулевой символ. Для этого в приемном буфере у вас должно быть предусмотрено место для нулевого символа при любом размере полученных данных.
Без этого большинство функций, работающих со строками будут давать не правильный результат.

4. Если вы ждете строго определенный размер данных, то вы должны в коде предусмотреть чтение сокета до тех пор, пока не вычитаете нужное количество данных. При этом вызовов recv может быть несколько (см.п.1, 2).

5. Если вы ждете в прочитанных данных какого-то завершающего символа (конца строки как в FTP), то вы должны самостоятельно проверять наличие этого символа(ов) - recv за вас это не сделает. Если в текущих полученных данных от recv нет конца строки - это не значит, что произошла ошибка. Это значит, что прочитаны не все данные и нужно еще их дочитывать.

Если не зарываться сильно в "API той или иной ОС", то можно считывать посимвольно, не scanfом, а getcharом, но тогда придется вручную осуществлять весь контроль ввода, конвертировать числа и т.д. и т.п.
Но это можно сделать в рамках стандартной библиотеки.

Любую.
Интерфей с Си есть у всех БД, а остальное из вашего списка никак на выбор не влияет.

Заранее не известно же каким будет результат, целым или вещественным.

Если есть шансы, что результат вычислений может быть не целым (и вам реально нужен вещественный результат в этом случае, т.е. с остатком), то нужно использовать вещественные операции для вычисления выражения, а не целые.
Часто бывает необходимо отбрасывать остаток, тогда намеренно используют целочисленную арифметику.

В отличии от языков с динамической типизацией, в С/С++ программист сам должен контролировать тип результата выражения и там где нужно делать преобразования типов явно для получения результата нужного типа.
И это не недостаток языка.