nllm

Скорее всего, просто держат паузу равную продолжительности видео + несколько секунд.
Покажите ботов, в которых видели реализацию.

Все верно расписали. Ничего сложного и извращенного нет.

Посмотрите mtproto. Сможете эмулировать работу клиента.

Надо весь код бота смотреть, иначе будет трудно

Выше все верно написали.
Самое главное получать данные из инстаграм, а отправлять уведомления в телеграм это дело техники.
Получили данные из инстаграм, собрали ответ, отправили в телеграм. Все.

Покажите весь код.

А в чем вопрос?
Сами ответили ведь ))
Через get-параметр указываете нужные параметры. При первом обращении фиксируете

Похоже что падает из-за кодировки. Приходит запрос от пользователя, где имя, фамилия в кириллице.

На 99% проблема в коде, а не на сторонних сервисах (хостинг, телеграм)

api тут не причем.
На стороне сервера обрабатываете полученную картинку и результат отправляете обратно.
Для обработки используете сторонние библиотеки

В вебхуке добавляете параметр botid. Для каждого бота свой параметр.
На стороне сервере при вебхуке смотрите, для какого именно бота пришел запрос.
Далее читаете (откуда-то) параметры/настройки данного бота и выполняете его логику.
В настройках бота описываете правила или наборы команд, которые должен выполнять бот.

Детальнее сложно сказать не видя всей задачи.

Покажите весь код бота.
Выше в коде нет взаимодействия с api telegram

по крону запускайте.
Подобных вопросов было много, посмотрите на toster.ru

Надо хранить состояния пользователя и по ним смотреть когда и что отдавать, что делать.

Много аналогичных вопросов было. Ответы на них есть в данной теме.

Самый простой вариант.
В базу писать дату, время, id пользователя и текст сообщения. Для каждого сообщения существует статус: новое, отправка, отправлено.

С помощью крона запускать скрипт каждую минуту (или другой период времени). При запуске смотреть каким пользователям уже можно/пора отправлять сообщения.
Если уже пора, то делаем отметку в базе "идет отправка" и начинаем отправлять сообщения.
После отправки пишем в базу "отправлено".

Цитаты уже есть где-то в базе. Так ведь?
Тогда бот берет данные из базы и отдает пользователю, например, при запросе в групповом чате (через инлайн запрос), либо по cron запускается и отправляет цитату в общий чат.

А так что прямо "бери и копируй" такого не будет. Есть github, можно там поискать примеры, почитать исходники и сделать свое.