Назар Мокринский

Во-первых MariaDB это хороший сервер, поэтому было бы для начала неплохо узнать зачем от него отказываться.
Во-вторых не зависимо от причин до MariaDB можно обновиться, а вот обратно нет. Поэтому перед установкой MySQL нужно удалить старые базы данных (директорию /var/lib/mysql).

На ваш вопрос невозможно ответить:
1) Не понятно какой была разметка диска при установленной и рабочей Ubuntu
2) Не понятно какой стала разметка диска после ваших манипуляций
3) Не понятно что именно и куда вы закидывали
4) Не понятно какие именно способы и чего именно вы пробовали
5) Без Live CD или загрузочной флэшки с Windows вы Windows не поставите, если сейчас у вас не грузится ни Linux, ни Windows
6) Без Live CD или загрузочной флэшки с Linux вы не вернете Linux к жизни, если Linux вы уже били и он не грузится

Установить другие оболочки можно, легко, но выпиливать кучу пакетов потом то ещё удовольствие. Если у вас система дико не подвисает, то быстрее работать не будет. Я когда-то тестировал, игры работали быстрее в Unity, чем в Pantheon, Mate, Cinnamon, GNOME3, XFCE и что я там ещё себе ставил. И запускаться приложения быстрее не станут. Некоторые оболочки жрут меньше памяти, но если у вас жесткой нехватки памяти нет, то и это вам не поможет.

Unity хорошо оптимизированная оболочка с малым количеством проблем, если нет больших претензий к ней, то лучше оставьте. А если хотите попробовать другие, то лучше виртуалку поднимите и попробуйте разные варианты там.

Вы уверены что у вас mysql использует unix socket? По-моему в актуальных версиях Ubuntu/Debian по-умолчанию используется localhost:3306

Нужно чтобы у пользователя веб-сервера был доступ ко всем папкам по пути к файлу, убедитесь что это так, в данном случае к папке var

Попробуйте для начала перезапустить систему, такое впечатление что что-то упало.
Обновить же систему можно из терминала.
Для получения информации об обновленных пакетах выполните:
sudo apt-get update
Чтобы установить обновления:
sudo apt-get dist-upgrade

Похоже на баг в приложении (лучше всего спросить об этом у разработчиков).
Чтобы исправить можете загрузиться в режиме восстановления (в GRUB есть расширенная опция), потом выбрать консоль root или как-то так, дальше перемонтировать файловую систему в режиме для записи и поправить sudo как написано в ошибке, примерно так:

mount -o remount,rw /
chown root:root /usr/bin/sudo
chmod u+s /usr/bin/sudo

Но есть подозрение, что кроме этого файла подобное могло произойти с чем-то ещё, так что разработчикам в любом случае напишите.

make install

запускать не самая лучшая идея. К тому же не самая лучшая идея использовать PHP 5.3, ибо этот релиз уже давно не поддерживается.
Если для чего-то нужно, то лучше поднимите виртуалку с аналогично древней ОС. На новых версиях Ubuntu, на сколько я помню, PHP 5.3 даже не собирается толком.

Правильнее уточнить зачем он вам. И ответ скорее всего - он вам не нужен.
В Ubuntu 15.04 systemd появилась как опция, в актуальных версиях Ubuntu это единственная система инициализации доступная из коробки. Все пакеты в репозиториях Ubuntu работают с ней и Upstart вам устанавливать не нужно.

На скриншоте написано что делать. Подробнее сказать нельзя, ибо непонятно, каким именно образом вы ставили Ubuntu. Может разметку диска меняли, вот Windows и потерялась.