nApoBo3

Дамп чего у вас?
В логах односторонней слышимости не будет.
Односторонняя слышимость в 99% это nat.

Если не ошибаюсь 3cx умеет запускать приложение при входящем звонке.

Зачем вам nat между этими сетями? Уберите nat и все заработает. NAT и sip не очень друг друга любят.

Замените телефоны на ip, стык аналога и ip в телефонии самое проблемное место.

Эту задачу решают АТС. Самым простым вариантом являются облачные службы которые возьмут на себя реализацию. Конкретное техническое решение зависит о того, что это за номер и как вам могут его предоставить ( gsm, аналог, sip и т.д. ).

Практически любая sip атс так умеет.

Настраивать. Для начала разобраться почему голос пропадает. Чаще всего это связанно с особенностями sip. Поскольку для голоса используется другой протокол, rtp, а по sip только соединение устанавливается.

У себя используем konftel. Звук хороший со стороны переговорки, но немного слабый на той стороне, желательно докупить комплект микрофонов. С ip есть сложности с видео связью, по этому мы поставили аналог, плюс мини комп и веб камеру с телеком.

Получить дешевые звонки на билайн можно двумя способами, одни через sim карты, но тогда боюсь придется забыть про оборудование вне офиса и нормальный номер у клиента, второй подключить все услуги у билайна и договориться с ним на безлимит, не факт, что получиться но думаю возможно.
Реализовать все лучше через виртуальную атс от провайдера. Если делать свою на хостинге, то надо обладать очень приличной квалификацией в этой области, иначе сильно не безопасно, придут потом счета на 200т.р. за звонки в Зимбабве.
Для выездных сотрудников тоже есть решения от операторов связи. Но зачем это надо для разъездных сотрудников не очень понятно, нормально звонить через voip с прогнозируемы качеством связи через gsm проблемно. Плюс по деньгам любое решение все равно будет дороже чем внутрисетевые пакеты от оператора.
Так, что разъездными оставить gsm, поставить виртуальную атс или свою, сделать переадресацию на мобильник, все взять от билайна, остальным звонить через шлюзы.

Если не разбираетесь в телефонии от слова совсем, лучше нанять специалиста который решит эту задачу для вас.
Первой и главный вопрос, что значит "затем поступать в саму программу", от ответа на данный вопрос зависти спектр решений которые возможно использовать.
Если под поступать в программу подразумевается, что в программе есть встроенный софтофон, то есть два варианта, первый, арендовать виртуальную атс у поставщика услуг, к некоторым из них можно будет привязать gsm номер( или виртуальный, или реальный от мегафона, у других операторов есть аналогичные услуги, но они сложны ). Второй купить свою ip атс, мы у себя используем grandtream железка достаточно простая в настройке и вполне надежная, плюс gsm шлюз или мультифон от мегафона, gsm шлюз можно взять goip( крайне не удобный в настройке, но достаточно стабильные ) или yeastar( значительно проще в настройке, но раз в месяц придется ребутить ).