leni_m

может через toggleClass?

$('.part').click(function(){
    // добавляем-убираем класс при клике
    $(this).toggleClass("tumble");
    // если одно из двух
    if($(this).hasClass("tumble")) {
        // одни действия
    } else {
        // другие действия
    }
});

1) открыть браузер, где темный фон выглядит светлым.
2) щелк правой кнопкой по элементу с фоном-> посмотреть код элемента(в каких то браузерах "инспектировать").
3) находим html элемент с фоном на панели разработчика -> щелк левой кнопкой.
4) смотрим на стили, какие браузер применяет к элементу, обращая пристальное внимание на css-свойство background, там должно быть наглядно показано откуда(название файла и номер строки) применяются все стили к элементу.
Раз вы новичек, то в первую очередь изучите панель разработчиков в браузере. Именно там все ответы на вопросы "почему именно так, а не как-то иначе."

document.write(result_crosshair);
Это значит что вы весь документ перезаписываете на результирующую строку, в которой нет кнопки.
Вот две ветки решения:
1)Добавить в результирующую строку кнопку тоже.
2)Перезаписывать не весь документ, а лишь его часть, которая не содержит кнопки(чтобы она не исчезала)

в файле wb11_sidebar.js
заменить 23 строку на:

//$("#PanelLayer").panel({animate: true, animationDuration: 200, animationEasing: 'easeOutCubic', dismissible: false, display: 'push', position: 'left'});

Position вроде-бы намного больше нуля...

нет,

carousel.querySelector('.next').onclick = function() {
      // shift right
      position -=

как мы видим при клике на некст он отнимается, а при клике на прев прибавляется.

хотя дебагер всегда показывает, что position равен нулю.

Вы у чего смотрите position?
list.style.marginLeft = position + 'px';
а
let list = carousel.querySelector('ul');

var topPos = jQuery('.desc-mytabs').offset().top - 150;

если на одну страницу, добавляете :

$(".custom-option").on("click", function() {
    ...
    document.location.href = "my-page.com";
}

если на разные страницы, добавляйте вашим спанам ссылку на которую переходить, например так:

<span class="custom-option undefined" data-value="/xbr/" data-url="google.com">Хабаровск</span>
<span class="custom-option undefined selection" data-value="Новосибирск" data-url="yandex.ru">Новосибирск</span>
<span class="custom-option undefined" data-value="Москва" data-url="toster.ru">Москва</span>

А в js обрабатывайте например так:

$(".custom-option").on("click", function() {
    ...
    var url = $(this).data("url");
    document.location.href = url;
}

if (time >= 0 && time <12) {
    dataFinish = now + n дней;
} else {    // time >= 12 && time <24
    dataFinish = now + n дней - 12 часов;
}

так?

браузеры при первой загрузке сайта обычно сохраняют все подгружаемые css и js в кеш, дабы не грузить их каждый раз при обновлении страницы, чтобы браузер заново перезагрузил их, нужно нажать секретную комбинацию - ctrl+F5.

Выставите правильные размера блока.
P.S. Используйте панель разработчика в браузере(обычно f12 или правой кнопкой по блоку->посмотреть код элемента) супер удобная вещь! Наводите на ваши элементы и браузер все вам расскажет (подсвечивает разными цветами границы, отступы и размеры блока) а также показывает какие стили применяются к элементу и дает возможность динамически их менять прямо на лету и смотреть результат.
Ну так вот, смотрите на ваш блок из браузера и решайте, что вам нужно:
Изменить размеры этого блока или обернуть его содержимое в еще один блок и уже его размеры менять.

например так

.goods__item {
    width: 49%;
    display: inline-block;
}

также можете ознакомится, при ширине 49% эта проблема конечно не возникнет, но в будущем можете столкнуться.

при записи на прием, заносить время с датой в бд.
при выводе сеансов, проверять нет ли указанного времени в бд.
Если нету - выводить "свободно", если есть - "занято".