kpkkk423

Для начала https://learn.javascript.ru/xmlhttprequest
И это
https://learn.javascript.ru/function-basics

Никак. В этом и состоит смысл httpOnly куки

$str = 'mail_info_10999781={"count":4,"lastPostId":"442384768","playerId":"1","playerName":"Система","text":"За участие в Ту..","dateAdded":1586381539,"countNew":"4"}; mail_info_4180878=[]; mail_info_2329300=[]; mail_info_10982672=[]; mail_info_10524789={"count":3,"lastPostId":"444114528","playerId":"1","playerName":"Система","text":"За участие в Ту..","dateAdded":1587504640,"countNew":"3"}; mail_info_9061283={"count":3,"lastPostId":"444114548","playerId":"1","playerName":"Система","text":"За участие в Ту..","dateAdded":1587504666,"countNew":"3"}; mail_info_4767868=[]; mail_info_2307930=[]; mail_info_3713915={"count":4,"lastPostId":"444115078","playerId":"1","playerName":"Система","text":"Вы покинули или..","dateAdded":1587505121,"countNew":"4"}; mail_info_11019215=[]; uidc=75e9f7984b904a; mail_info_7521919={"count":3,"lastPostId":"444119300","playerId":"1","playerName":"Система","text":"За участие в Ту..","dateAdded":1587509668,"countNew":"3"}; mail_info_5249555={"count":3,"lastPostId":"444119305","playerId":"1","playerName":"Система","text":"За участие в Ту..","dateAdded":1587509682,"countNew":"3"}; mail_info_9721044={"count":3,"lastPostId":"444119330","playerId":"1","playerName":"Система","text":"За участие в Ту..","dateAdded":1587509739,"countNew":"3"}; mail_info_9200661={"count":1,"lastPostId":"444119783","playerId":"10978816","playerName":"Букая","text":"Перса верните","dateAdded":1587511049,"countNew":"1"}; mail_info_3775637=[]; mail_info_10950336=[]; mail_info_2728587=[]; mail_info_10799719={"count":4,"lastPostId":"444145953","playerId":"1","playerName":"Система","text":"За участие в Ту..","dateAdded":1587543962,"countNew":"4"}; mail_info_3782473={"count":4,"lastPostId":"444146002","playerId":"1","playerName":"Система","text":"Вы покинули или..","dateAdded":1587543991,"countNew":"4"}; mail_info_8929282={"count":5,"lastPostId":"444146020","playerId":"1","playerName":"Система","text":"Вы покинули или..","dateAdded":1587544010,"countNew":"5"}; mail_info_6872423={"count":4,"lastPostId":"444146071","playerId":"1","playerName":"Система","text":"Вы покинули или..","dateAdded":1587544041,"countNew":"4"}; mail_info_10947584=[]; mail_info_5361529=[]; mail_info_11024570=[]; mail_info_10824306={"count":3,"lastPostId":"444149063","playerId":"1","playerName":"Система","text":"Вы покинули или..","dateAdded":1587546093,"countNew":"3"}; mail_info_9126714=[]; mail_info_9412550=[]; mail_info_8087106=[]; PHPSESSID=720e9a61f3ce5acf34e005ba0811a4e0.1587566959.5217338; mail_info_10209738=[]; lastSyncDate=1587568026488mrush.mobi';
if(preg_match('/PHPSESSID=(.+?);/', $str, $matches)){
    echo $matches[1];
}else{
    echo 'Oops';
}

Предлагаю прост взять na.text и разделить по запятую, а дальше получить первый элемент списка. Проще варианта данный Сергеем, ибо нужно лишь дописать одну строку в ваш уже готовый код.
nickname = na.text.split(',')[0]
Единственное замечание, "JIунный V" это всё ник или ник + какой-то уровень? Если вам не нужно "V" и другие значения на этом месте, можно еще проще разделить по пробелу, функция split делает это автоматический, если не передавать значение:
nickname = na.text.split()[0]

longNick = na.text.strip()
nick = longNick[:longNick.find(',')]

Если нужен только последний рейтинг, стоит ли заморачиваться построением и поиском в DOM-модели. Поиск медленный, при обработке больших по объему страниц память жрет немерено.
Проще найти рейтинг "врукопашную"

import requests
. . .
content = requests.get('адрес чего-то') 
texthtm = content.text
substr = '<td class="yell">'
posb = texthtm.rfind(substr) + len(substr)
pose = texthtm.find('</', posb)
rating = int(texthtm[posb : pose])
print(rating)

Уберите "{'name': 'PHPSESSID'}"
find_all у вас выдаст список, обойдите его циклом и достаньте value у каждого

Попробуйте отправлять значения из hidden полей вместе с логином и паролем. Возможно в этом причина.
Когда вы очистите историю, в форме появляется эти 2 поля
Думаю это и есть проверка на бота. Интересно что когда заходишь во второй раз, этих полей уже нет

1) Вы ищете таблицы с классом 'cntr wa mlra', а нужно таблицу.
2) Уже в найденной таблице искать (как вариант) все теги 'a' с классом 'lwhite'

table = soup.find('table', {"class": "cntr wa mlra"})
names = table.find_all('a',class_='lwhite')
for name in names:
	nick = name.text
	print(nick)

3) Вы их уже задолбали, они поставили хитрую защиту от таких скриптов. Нужно делать задержки при отправке запросов.

Насчет защиты - там теперь при авторизации нужно передавать еще один параметр(с пустым значением) с рамдомным именем. Но просто перед авторизацией сделать get запрос и вытащить данный параметр просто так не получится, там немного хитрее всё это сделано.

Рабочий код(куки скопировал из браузера):

import requests
from bs4 import BeautifulSoup
from lxml import html
import time

cookies = {'PHPSESSID':'c3a1cde86c8c8c9f0e3877403ad4935e.1585230344.54638591'}

headers = {'user-Agent': 'Mozilla/5.0 (X11; Ubuntu; Linux x86_64; rv:72.0) Gecko/20100101 Firefox/72.0'}

for i in range(1,6):
  mrush = open('ParsNick.txt','a')
  html_text = requests.get(f"http://mrush.mobi/best?pvp=0&page={i}",cookies=cookies,headers=headers).text

  soup = BeautifulSoup(html_text, 'html.parser')
  table = soup.find('table', {"class": "cntr wa mlra"})
  names = table.find_all('a',class_='lwhite')
  for name in names:
    nick = name.text
    print(nick)
    mrush.write(nick+'\n')
  mrush.close()
  time.sleep(1)

Вы ищете все ссылки с классом block_zero, а с такими классами есть только div'ы:

for i in range(1,100):
	tiwar = open('tiwar.txt','a')
	html_text = ses.get(f"http://tiwar.ru/rating/sumstat/{i}").text
	soup = BeautifulSoup(html_text, 'html.parser')
	names = soup.find_all('div',class_='block_zero')
	for name in names[:-2]:
		nick = name.a.text
		print(nick)
		tiwar.write(nick+'\n')
	tiwar.close()