Если вы файл отправляете внутри формы, у которой есть директива "multipart/form-data" - то скорее всего сервер сам сохраняет файл во временную директорию, для последующей работы с ним (я лишь только предполагаю что сервер ведет себя именно так).
Чтобы он не сохранял во временную директорию - нужно отправлять файл внутри http запроса самостоятельно, в виде base64 строки например. Тут вам потребуется js File API.
(настоятельно не рекомендую так делать, нет ничего плохого в том, что сервер сохраняет файл во временную директорию)
Таким образом вы на стороне сервера будете получать обычный запрос, в котором есть base64 строка. Вы можете на лету декодировать её, и послать на любой облачный сторадж.
У dropbox есть API, можно воспользоваться им. Можно воспользоваться AWS S3. Можно воспользоваться чем угодно на самом деле.