1) На сервере делаете проверку полей. Есть два варианта: с показом ошибки и без.
1,1) -
if (isset ($_POST["mail"] , $_POST["name"]...)) {
Все заполнено
} else {
не заполнено что-то
}
1.2 - проверка на наличие каждого поля. Пользователь будет знать что отсуствует.
if (isset ($_POST["mail"])) {
Нету мыла
} elseif ((isset ($_POST["name"])) {
нету именти.
}
Эти два кода на 2 с плюсом. Например наличие мыла надо проверять регуляркой.
2) Через ajax отсылаем запрос и результат выводми под кнопкой.
Альтернатива: не использовать ajax, а делать подобные проверки на клиентской части, и не забывать, что заппрос может на сервер прийти например через CURL и уже проверка клиентская тут не поможет.