Как мне это сделать (Ajax)?

в test.php нужно разместить код который будет генерить твое число
Например:
echo '123';

Как мне это сделать (Ajax)?

это уже чистое js решение, может быть человеку нужно логику образования числа скрыть =)

Как вызвать чанк-переменную в ModX в зависимости от уловия?

Супер )

Как сделать кнопку показать ещё?

rinaz22, поясните, как?)

Как сделать в header блок в котором будут кнопки?

https://codepen.io/anon/pen/gZaPmv