Искуственный интеллект - это способность программы (агента) делать какой-то выбор в некоторых условиях. Алгоритмы сортировки или поиска пути в графе - это тоже ИИ.

Есть несколько подходов к реализации ИИ. Один из них - это машинное обучение, когда мы предоставляем данные и при помощи какого-то алгоритма "обучаем" агента, формируем в нем математику того, как принимать решение. Другой вариант - это, например, просто закодить логику.

Нейронные сети - одна из моделей машинного обучения. Т.е. это некоторая форма, при помощи которой мы пытаемся описать процесс, требующий принятия решения.

Есть несколько алгоритмов обучения нейронных сетей. Наиболее эффективный в данное время - это backpropagation. Но он не единственный - например, нейронную сеть можно обучать и при помощи генетических алгоритмов. В вакууме они работают сильно медленнее, чем backprop, но при этом лучше паралелляться и не требуют расчета производных.