Если все в базу упирается, то все равно какой фреймворк. Yii весьма хорош по производительности. Единственный его минус в этом плане, который я заметил - высокое потребление памяти и долгое время работы, если вы выбираете из БД много-много записей и маппите их в ActiveRecord. Легко лечится заменой AR на DAO в узких местах.
Можете попробовать Yii2, он еще шустрее и удобней (и вышеозвученная проблема с AR и большими выборками там решается еще проще - в AR добавили метод выборки asArray, а так же пакетные выборки)
нужно будет распределять базу данных по серверам, а я хз как это сделать.
Самый простой способ - master/slave репликация, но она не всегда профит по производительности приносит. Есть более сложные варианты, гуглите по слову шардинг.
А вообще если у вас будет realtime-чаты, то в любом случае на php это не стоит делать. Для этого лучше взять что-нибудь более пригодное для comet-серверов: nodejs, erlang, python+tornado/twisted. Хотя сейчас на слуху асинхронный сервер PHP - ReactPHP, но я лично его не пробовал и не знаю, хорош ли он в бою.
Большое количество чатов для общения между пользователями - где хранить данные, в mysql или...?
MySQL при грамотной настройке может многое. Для начала он вам точно должен подойти.
