Ilya

//div[contains(text(),'Аркадий')]/following-sibling::div//div[contains(text(),'+ 50 000')]

Рабочий вариант:
//div/span/following-sibling::text()

Очень "хрупкий" xpath запрос. То что он отрабатывает в Хроме, не значит, что он ровно так же отрабатывает в DOMXpath.
Варианты:
1. каждый раз прогонять весь html через tidy и смотреть каким будет xpath запрос уже после него, его, соотвественно, и использовать
2. без tidy использовать более короткий запрос, а-ля:
//td[@class="official"]/p/a/text()
Это рабочий вариант, но, возможно, нужны еще данные, которые не только внутри ссылок, тут уже сами.

Запрос с text() на конце для получения CDATA - верный. Дальше получение значения (nodeValue) уже зависит от реализации в языке/библиотеке. С xpath у вас порядок.

Меня смущает блок
[contains(@id, '_slider_list')]
потому, что в показанном выше html этого кода нет.

А с другой стороны точно никак?
Например:
//*[contains(@id, "TREY_")]/div[2]/span

День добрый.

получить значения атрибута name

Вероятно, вы имели ввиду "получить значения внутри div с class = name".

Вы почти сами написали нужный xpath. Если в лоб, то:
это для name внутри SUCCESS

//div[@class="reports"]/div[@class="SUCCESS"]/div[@class="name"]

это для author внутри ERROR

//div[@class="reports"]/div[@class="ERROR"]/div[@class="author"]

Так как неизвестно про какой язык идет речь, то и ответ будет довольно общим - да, в xpath-запросах можно использовать кириллицу.

К примеру, нет никаких проблем с этим в php при условии, что документ, переданный в DOM, в кодировке UTF-8.

UPD (пример рабочего кода):

$xml = '<СписокВалют>
<результат>
<контент>
<пункт вал1="USD" вал2="RUB">69.966015</пункт>
<пункт вал1="CNY" вал2="KZT">50.799100</пункт>
<пункт вал1="RUB" вал2="KZT">4.859019</пункт>
</контент>
</результат>
</СписокВалют>';

$doc = new DOMDocument('UTF-8');
$doc->loadXML($xml);
$xpath = new DOMXPath($doc);
$res = $xpath->query("//пункт[@вал1='USD']");
echo $res->item(0)->nodeValue;

Так легко же:

//tr[td[contains(text(), "Lois")]]/td/button

Чтобы получить единичное значение после xpath-запроса, вам надо использовать метод item().
То есть, условно:

$prices_value = $xpath->query("//div/span[2]");
if($prices_value !== FALSE && $prices_value->length > 0)
   echo $prices_value->item(0)->nodeValue; // тут ваше значение

Без использования item() вы можете обходиться только если итерируете результаты query(), например:

$prices_value = $xpath->query('//div/span');
if($prices_value !== FALSE && $prices_value->length > 0)
{
   foreach($items as $item)
      echo $item->nodeValue;
}

И это уже немного за рамками вашего вопроса, но я бы рекомендовал сократить xpath-выражения в query(). Я понимаю, что вы их скопировали из Firebug или другой вед-дев тулзы, но в вашем случае минимальное изменение верстки донора приведет к отказу работы ваших xpath-запросов.

Просто добавьте в xpath немного конкретики (при условии, что div1 - единственный класс):

//div[@class="div1"]/*[contains(text(), '" + CityName + "')]

Это не самый элегантный способ, но сработать должен. Вариантов решить задачу может быть несколько, но надо смотреть html-код страницы для этого.