Дмитрий Новиков

Может стоит сделать этот запрос async/await?

В Вашем случае действительно нужно для контейнера задать flex-start, а уже для элементов придется попотеть с расчетом ширины в зависимости от количества элементов в строке и отступов между ними. Либо заглянуть сюда и стянуть мой рабочий пример на scss. В примере просто поменяйте две переменные, количество столбцов и величину отступа

Почитайте про wp rest api. Посмотрите список своих конечных точек и обращайтесь туда путем асинхронных запросов, например, с помощью axios. На каком этапе тут есть вопросы?

Возможно проблема с получении как раз списка проектов выбранного терма нужной таксономии? Для этого нужно написать ajax обработчик, в который передавать слаг нужного терма. А в обработчике делать запрос к бд либо через get_posts, либо через wp_query и отдавать этот массив на фронт. По поводу ajax можно прочитать тут, пишут очень доходчиво

А почему бы не вынести авторизацию во Vue?
При авторизации клади данные о юзере в localstorage, которые тебе отдаст бек. При перезагрузке страницы проверяй есть ли инфа в storage. Если нет, то пробуй ее запросить с бека, авторизован ли ты там. Если да, то заполни сторедж еще раз, если нет, то выбрасывай к чертям на авторизацию

Открыть файл категории и вписать туда в нужное место не подходит?

Выведи значение input.prop('files') в консоль, там точно что-то есть?
Файлы точно выбраны уже?
Или это выполняется при загрузке страницы?