Если nginx, можно попробовать fastcgi_finish_request()
Клиенту будет отправлен ответ и соединение закрыто, сессия разлочится, скрипт продолжит выполняться в фоне.
Именно поэтому правильность гугления оценивается отдельно на собеседованиях.
Вам нужен менеджер для клиента, а не для сервера. Соответственно и гуглить нужно например так "filemanager js", "filemanage vue", "filemanager react" и тд
Первая же ссылка https://vuejsexamples.com/5-best-file-manager-for-....