Во-первых, у вас привязка к гет-параметрам в урле, на фидле оно не работает в принципе.
Во-вторых, полагаю, целесообразнее было бы хранить какой-то id открытого пункта меню, а не html-код этого пункта (что, при изменении стилей на лету делает этот метод еще менее точным).
В-третьих, проблема в том, что вы навешиваете класс open последнемупо иерархии открытому пункту меню, но не навешиваете этот класс всем родительским менюшкам.