Алексей

Если все сделали правильно, то надо подождать.
DNS записи имеют "время жизни" и могут находиться в кеше.

Замените в вашем редиректе /test/ на /test/$
Скорее всего поможет, либо, если это apache, можно добавить [L] в конце.
Начните с первого совета.

В целом - это поисковые роботы.
Если вы их заблокируете - вы пропадете из поисковиков.
То что вы видите 404 - это стандартные файлы которые браузеры пытаются скачать (фавиконка, картинка для apple устройств).
Если есть реальная проблема с роботами (падение сайта) то надо смотреть - или оптимизировать сайт или закрывать часть сайта через robots.txt

Попробуйте почитать про "сессии" - php.net/session.examples.basic
Кажется это то что вам нужно.
То же самое можно сделать и вручную, но если есть сессии, то нужно ли.

Если стандартное предупреждение, то

window.onbeforeunload = popup;

function popup() {
  return 'I see you are leaving the site';
}

У вас и /index.php/contact тоже выдает "описание недоступно...", но в robots.txt ничего на эту тему нет.
Скорее всего вы что-то меняли недавно и переиндексация не завершилась.
В Яндексе описание показывается.

Печаль. Не знаю поможет ли, но в зависимости от счетчика можно попробовать загрузить его в iframe, либо в iframe загрузить страничку с вашего https сайта с http счетчиком, либо попробовать "дернуть" этот счетчик асинхронно через ajax. Ну или в крайнем случае - сделать "прокси" скрипт, который будет забирать картинку и выдавать ее, но тогда счетчик не будет считать уникальных посетителей.

1) Сейчас не переадресовывает
2) Замените все абсолютные ссылки на css и скрипты и тд на относительные (от корня), то есть

<link rel='stylesheet' id='yarppWidgetCss-css'  href='http://sovetneg.ru/wp-content/plugins/yet-another-related-posts-plugin/style/widget.css?ver=4.6.1' type='text/css' media='all' />

замените на

<link rel='stylesheet' id='yarppWidgetCss-css'  href='/wp-content/plugins/yet-another-related-posts-plugin/style/widget.css?ver=4.6.1' type='text/css' media='all' />

и так далее.

2ip.ru говорит что это Wordpress.

Сделайте так:

<?php
  if ($_POST['ok']==''){
    echo "<form action='?' method='post'>
    <input type='hidden' name='ok' value='ok'>
    <input type='text' name='login' placeholder='Логин'><br>
    <input type='text' name='password' placeholder='Пароль'><br>
    <input type='submit' value='OK'><br>
    </form>";
  }else{
    echo $_POST['login'];
  }
?>

Ну или можно добавить name="ok" кнопке сабмита вместо скрытого поля.

Вы открыли html файл локально с файловой системы.
Путь до спрайта у вас прописан как /img/stance.png
Браузер его ищет в C:\img\stance.png
Зальете на хостинг - путь будет коррентным.
Если хотите тестировать локально - замените /img/stance.png на img/stance.png

Чисто по симптомам - а у вас случайно не несколько рабочих серверов, а поправили на одном?

Если раньше все работало, то либо отключена функция mail либо письма попадают в спам.

"везде где есть параметр background-image: стоит значение "none""
А на терминалах с WinXP что в background-image?
Смотреть конечно надо html/css код, ибо непонятно - то ли новый браузер что-то специфическое не поддерживает, либо ваш сервер смотрит USER_AGENT клиента и отдает разные стили в зависимости от браузера.
Если так (сервер выдает разные стили для разных браузеров), то вам надо посмотреть USER_AGENT на работающем киоске (можно в логах на сервере) и прописать его в новом браузере (как прописать можно нагуглить по названию браузере и "изменить user_agent").

CURLOPT_TIMEOUT - Максимально позволенное количество секунд для выполнения cURL-функций.

Ну уж если ajax не подойдет, то form... target="имя_iframe" - это без javascript если.

Сервис - nethouse.ru