Алексей Уколов

Заменить обращения к inRandomOrder() на нужный статичный фильтр, разумеется.

Route [settings] not defined.

->name("settings.store")
->name('home')

Как исправить ошибку?

Указать правильное имя роута или дать нужному роуту имя.

В setUp() это будет работать.

switch ($exception->getStatusCode())

$this->renderHttpException($e)

Translation file [/home/basa/site.com/resources/lang/ru.json] contains an invalid JSON structure.

Очень легко:

check that column/key exists

Вы в down пытаетесь удалить колонку, которой не существует. Можно написать dropIfExists или вообще удалить.

Используйте Job Chaining.

Его не нужно передавать, его нужно сделать необязательноым, он же это… необязательный…
public function showCar(Car $car, $id = null)

->table('name')->sum('column')

Данные, которые вы отправляете не проходят валидацию:

[
    'message' => 'required|max:1000',
    'img' => 'mimes:jpeg,png,gif|max:3000',
]

Поскольку данных мы не знаем, больше ничем помочь не можем. Разберитесь, что делает каждое из этих правил, что вы отправляете и поймёте в чём проблема. В ответе вам должно приходить описание ошибок с указанием полей и конкретных правил.

Вот запросы, которые генерирует ваша выборка:

select * from `books_categories` where `parent_id` = '0'

select * from `books_categories` where `books_categories`.`parent_id` in (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33)

Она работает корректно. Видимо, у вас в шаблоне идёт доступ к каким-то незагруженным данным, но код шаблона вы не предоставили...

Использовать стандартный функционал: https://laravel.com/docs/7.x/routing#route-model-b...

Вы можете создать своё правило любым описанным в документации способом.

В документации, конечно: https://laravel.com/docs/6.x/artisan#programmatica...

1. В каком слое принято обрабатывать такие ситуации?

Зависит от логики приложения, однозначного ответа нет.

2. Каким кэтчем отлавливать бОльшую часть исключений? Стоит ли использовать \Exception?

\Throwable отловит всё. Хорошая ли это идея - спорный вопрос, однозначного ответа нет.

3. Стоит ли делать так:

Если есть реальные веские причины, то стоит. Нет - нет. В вашем вопросе причин таких не наблюдается.

Я думал, фреймворк как-то из коробки умеет такие ситуации обрабатывать.

Умеет.

Потому что сериализуется то, что в $this->attributes и в $this->relations*. Про то, что вы какое-то там свойство добавили классу, Laravel ничего не знает и хотите вы его сериализовывать или нет - тоже. Кроме исходников, полезно ещё читать документацию.

P.S. children, не childs.

* на самом деле логика сложнее.

Для этого есть стандартные механизмы.

Как сделать так, чтоб ... переходить

https://laravel.com/docs/5.8/redirects

условие @if влияет только на то, виден html или нет.

Вы неправы.

Картинки - это коллекция, она никогда не будет равна null, поэтому проверка ваша всегда проходит. Должно быть так:
@if($post->images->isNotEmpty())

$post->images()->first()->path

А вот здесь вы делаете лишний запрос в БД. Должно быть так: $post->images->first()->path

Для этого есть готовый механизм: Custom Guards.

трех разнородных сущностей, требующих единого идентификатора для авторизации?

Если вам действительно нужен единый сквозной идентификатор, то проще всего использовать одну таблицу регистраций + N таблиц профилей (по одной для каждого типа).

Как устранять потенциальные дубли и делать выборку по трем таблицам.

Это сильно зависит от логики и требований приложения.