Алексей Уколов

get("/categories/category/destroy/{category}"
href="/categories/category/delete/{{$category->id}}"

Да ну ёпрст же… Попробуйте себя в авиамоделировании.

moment(1491392160000 / 1000).format('DD.MM.YYYY)

Route::get()

The DELETE method is not supported for this route

<a href="public/uploads/product_images/delete/{{$image->id}}"

The GET method is not supported for this route.

Ой, ну не знаю… У вас какой знак зодиака? А то без этого мы не сдвинемся с места, на котором топчемся который месяц.

Я редко такое говорю, но тут всё ясно как белый день. Программирование — это не ваше. Вы с элементарной проблемой не можете справиться несколько недель и с упорством достойным лучшего применения постите сюда один и тот же вопрос не пытаясь включить голову хотя бы немного. Никакие ответы вам не помогут, к сожалению, попробуйте какое-то другое хобби (о том, чтобы зарабатывать программированием вам точно стоит забыть с таким подходом).

Цель: Чтобы на github не пушилась папка .idea

Сделайте глобальный системный .gitignore.

Вы, наверное, сначала директорию закоммитили, а потом уже добавили в .gitignore? Вот в гите и осталось то, что было до игнора.

Вообще уберите этот аргумент функции - js сам его получит из внешней области видимости.

чтобы не могли взять например заранее сгенерированный пароль и другую важную информацию

Важная информация не должна покидать сервер, если требуется, чтобы её не знал пользователь.

По итогам ревью код может измениться кардинально, что может повлечь за собой новые баги и исправление существующих.
По итогам тестирования код редко значительно изменяется - обычно правятся какие-то локальные баги.
Полноценное тестирование - это обычно более ресурсоёмкий процесс, чем ревью.

Исходя из этого - сначала ревью.

const newElemProps = {
  [el]: !old[el]
};

"Работать как с обычным массивом" нужно внутри колбэка - асинхронный код синхронным не сделать. Есть промисы и async/await, но они принципиально сути не меняют.

$user2->roles()->attach($manager);
$user2->permissions()->attach($mangeUsers);

Пользователя нужно сохранить сначала, как в первом случае.

Как реализовать вывод картинок и удаление при редактировании? Что почитать для этого?

Ответ на первый вопрос:

<img src="{{$image->path }} " alt="{{$image->title}}">

+ https://laravel.com/docs/7.x/filesystem#file-urls

Ответ на второй: https://laravel.com/docs/7.x/filesystem#deleting-files

Ответ на третий: https://laravel.com/docs/7.x

Где у вас резолв промиса-то, откуда данным взяться?

Потому что чтобы что-то вернуть, нужно использовать return.