Проявит ли себя рандомная ячейка в одном из трех вариантов?

Есть три ячейки: A, B, C. При нажатии кнопки в А всегда будет X, в B всегда будет 1/Х(значение, обратное иксу), в C всегда будет случайное значение (или X, или 1/X).

Пишем условие:
A := x;
B := 1/x;
C := x | (1/x);
Хотим узнать вероятность p того, что С := x (зная это, легко понять что событие C := 1/x будет иметь вероятность p - 1), но читаем дурацкую формулировку:

Вероятность того, что одно из трех значений будет представлять ячейку C равна 33.3%.

В C может быть два варианта значений.
В тексте задачи возможна только одна из этих формулировок:

Вероятность того, что одно из двух значений будет представлять ячейку C равна 50%.

Вероятность того, что ячейка C будет иметь значение x равна 33% (или C будет иметь значение 1/x равна 67% ).

Как убрать кавычки в json файле на выходе с помощью php?

Я всего лишь дополнил ваш код.
Переменная $json (результат функции json_decode), является PHP ассоциативным массивом (в том числе многомерным). Если имена свойств не противоречат синтаксису именования ключей, то можно забыть, что он когда-то родился из JSON-строки.
Добыть age в вашем случае так:
$age = $json['item']['age'];

Динамическая ширина input в зависимости от value?

Очень маловероятно, что css поможет.

Динамическая ширина input в зависимости от value?

Уже интересовались ранее.

Как убрать кавычки в json файле на выходе с помощью php?

А, ну тогда только прошерстить объект, и привести свойства к нужным типам и опять записать:

$json = json_decode(file_get_contents('test.json'), true); //Читаю файл так
$json['age'] = intval($json['age']);
----------
file_put_contents('test.json', json_encode($json, JSON_UNESCAPED_UNICODE)); //Пишу файл так

Тогда будет:
{ "name": "Вася", "age": 35}

Как убрать кавычки в json файле на выходе с помощью php?

Зачем ломать корректный синтаксис JSON?

Можно ли избавиться от setInterval?

Что делать, если проект написан без модных библиотек и нужно его сопровождать?

Можно ли избавиться от setInterval?

Насчет поправить значение переменной на лету - не уверен, что хорошее решение.
А вот высыпать логи относительно какой-то переменной, не вникая как работает простыня кода при сложных вычислениях с кучей ветвлений (без модификации этой части кода), может оказаться полезным.

SQL инекция может работать через cookie?

Главное, как собран запрос с параметром, а не каким путем пришел параметр.

Как сделать проверку, присутствует ли Кириллица в строке?

Главное, чтобы множество, описываемое регуляркой, было охватываемое и соответствовало назначению этой строки.
Допустим, вам нужна строка, в которой предполагается хранить логин.
Предполагаем, что там только латиница в разных регистрах, возможно, еще цифры.
Описать множество латиницы и доп. знаков легче, чем множество ему противоположное.
Если брать по множеству-отрицанию, то отсекая кириллицу, мы можем упустить из виду не только русский алфавит, но и знаки, используемые в восточноевропейских языках.
Можем не охватить иероглифы, если кодировка у нас unicode, и мы не ждем их, если в ТЗ об этом даже не подумали.

У кого-нибудь случайно на CD не завалялась статья 90-х годов с названием типа "самый быстрый способ стать хакером"?

Скорее всего вас интересует не сама статья, а стиль изложения.
Вот, к примеру, не древняя статья, но тон похожий на то, что вы указали.

Как разделить числа на ассемблере в AVR?

Разделить в столбик - не проблема. Проблема - в каком виде хранить результат и экономить при этом ресурсы.

Что не так в синтаксисе моих медиа-запросов?

Хоть и существует холивар по поводу написания скобок, но это тот самый случай, когда лучше писать их с определенными отступами:

@media (max-width: 767px)
{
  селектор
  {
     свойство: значение;
  }
}

Почему при transition router видно как разваливается слайдер?

Могу только предположить, что возникает паразитный эффект из-за наличия transition.
Нужно подавить это свойство (вероятно, преимущественно, у дочерних элементов компонента) на время уничтожения компонента. Или скрыть компонент (display: none), а потом уничтожить.
В общем, принять меры, чтобы не происходило анимированного исчезновения.

Как спарсить блок без класса, айди?

Да, все верно. По относительному положению в DOM-е, или по содержимому.

Почему при transition router видно как разваливается слайдер?

Какая конфигурация слайдера при инициализации?

Select2 не работает на мобильных?

На какой ОС и браузере отлаживаете баг?
Есть подозрение, что некоторые аспекты верстки виджета просто не удовлетворяют совместимости со слегка устаревшим браузером.

Что выбрать для хранения данных JSON или sqlite?

Смотря как дальше будете использовать данные.
Если вручную изучать, как логи - это одно, а если проецировать на графики - то проблема.
Если в будущем вам понадобиться фиксировать не 3 параметра, а 5, то в базе делается alter table, а в заносящем/читающем скрипте просто добавляются еще пару параметров через запятую и все.
В случае с файлами вам придется старые файлы убирать или модифицировать их под новый синтаксис, делать в читающем скрипте адаптивность под 3 и 5 параметров, и тд.
PS: В общем, я переболел этим. Поэтому, если в среде можно поднять маломальский sql, я не упускаю возможности пользоваться этим.

Как вывести и одновременно передать значение value в форме HTML?

не срабатывают кнопки к сожалению... forms[0] - вписывал сюда name формы, не помогло.

Почему? Должно работать. Нужно правильно вписать атрибут name у формы и к ней же обратиться.
Еще нужно точно указать action и метод отправки данных, это зависит от того, где и как на сервере у вас обрабатываются посланные данные.

<script>
function set_pay_mode_and_submit(mode)
{
  document.getElementById('pay_mode_input').value = mode;
  var any_text_value = document.getElementById('any_text_id').value;
  // тут нужно получить все поля формы и проверить на заполненность
  if(any_text_value.length == 0) //если не заполнено какое-то поле
  {
    alert('Заполните поле any_text!');
    return;
  }
  // все проверки прошли, отправляем форму
  document.forms['one_form'].submit();
}
</script>
<form name="one_form" action="" method="GET">
  <label>any_text:<input id="any_text_id" type="text" name="any_text"/></label>
  <input id="pay_mode_input" type="hidden"  name="pay_mode" value="20"  />
  <input type="button" value="Яндекс Деньги"  onclick="set_pay_mode_and_submit(20)" />
  <input type="button" value="Еще одна платежка"  onclick="set_pay_mode_and_submit(10)" />
</form>

Обычный метод копируется для каждого объекта или PHP оптимизирует и не делает копию методов для объектов?

Какая-то странная формулировка "копия метода".
Метод либо описан непосредственно в классе, либо наследован, либо расширен, либо перегружен (что в PHP нереально из-за нестрогих типов данных в параметрах метода и их возможном количестве). Понятие копии применительно к объектам или свойствам объекта.