Дмитрий Шицков

Обычно, отсутствие гудка в трубке означает, что SIP-линия не подключена

Echo Canceller в GXW-4004 включено? Jitter buffer?

Используйте Asterisk Realtime
https://wiki.asterisk.org/wiki/display/AST/Realtim...

Вопрос такой - а вы пробовали поискать ответ на вопрос на форумах OpenVox и выполнить рекомендации по устранению эхо? Возможно, у вас вовсе эходав отрабатывает одновременно и в Астериск, и в Openvox

Что за аппараты у сотрудников?
у вас в конфиге этой... эээ... Askozia установлены параметры?

canreinvite = no
directmedia=no

У абонентских аппаратов или глобально в Астериск у вас прописано так?

nat=force_rport,comedia
directmedia=no
directrtpsetup=no

Проверьте физическое подключение - может быть поврежден кабель или коннектор, либо коннектор неправильный...

В sip.conf укажите:

externip=ваш_внешний_ip
localnet=ваша_локальная_сеть/префикс локальной сети

Во время звонка посмотрите
sip show channelstats
Есть ли потери пакетов? Сколько %?

Зачем включили что-то в iax.conf, если нет iax? Лучше наоборот, отключите все модули, котоыре не используете и удалите их дефалт-конфиги.

Я бы решал задачу способом №1. Главное подобрать VPS с достаточно хорошим каналом. Надежнее будет поднять там Астериск в качестве IAX2 прокси или siproxd, помимо IPSEC VPN.
Только уточните - шифрование криптостойкими алгоритмами так же может быть вне закона или требовать дополнительной сертификации.

Да, возможно. Наличие некого номера не требует наличия зарегистрированного физического аппарата. За набранным номером может крыться что угодно, в том числе и IVR.

CDR иногда загадочная вещь. Вероятно, вам придётся вручную откорректировать переменные CDR.
asterisk.ru/knowledgebase/asterisk+func+cdr

Точно не помогает статья из гугла? Что у вас не получилось из неё реализовать?
https://habrahabr.ru/post/254835/

exten =>*10,1,Dial(SIP/имя_внешнего_пира/777333)

Скорее всего нет готового решения под вашу задачу и придётся писать что-то своё.

По проблеме с эхом попробуйте включить глобально jbenable = yes в sip.conf.
Т.к. проблема с конкретными провайдерами, то неплохо было бы обсуждать эту проблему именно с тех-поддержкой провайдера

На данный момент бесплатнее и дружественнее чем Asterisk и панели к нему в виде elastix, FreePBX и т.п. ничего не найти. К сожалению, в жизни не пользовался ни одной из панелей и не знаю, какая из них самая дружественная.
Если вам не удается разобраться в настройках и параметрах IP-телефонии, то лучше это дело доверить профильному специалисту, т.к. ошибка может стоить больших денег родственнику, когда с его АТС начнут звонить злоумышленники направо и налево.

Если уведомление через sms-провайдера, то посредством CURL.
Если через свою симку, то модем Huawei E1550+chan_dongle.

Применяются оба способа. В интернете много статей на тему обоих.