Дополню ответ @dewil

Расскажу вкратце на простых примерах, а уже сам дополнишь.

1. Сделай на сервере php скрипт, который будет получать через GET или POST логин, пароль и обращаться к таблицу users.
Как то так:

...
$login = $_GET['login'];
$pass= $_GET['pass'];

if(isset($login) && isset($pass)) {

$request = "SELECT * FROM `Users` WHERE login='$login' and password='$pass'";
$result = mysql_query($request);
if (!$result) {
   ...
} 
}
...

Скрипт будет возвращать либо положительный, либо отрицательный response

2 . Сделай LoginActivity, создай layout, где будет два EditText для ввода логина и пароля. По клику отправляй данные в свой скрипт и парси ответ. Если авторизация прошла, сохраняй какой нибудь флаг в SharedPreferences, что юзер авторизован.

3. При нажатии на "Выход" стирай флаг в SharedPreferences

Это все самый простой вариант, тут еще нужно учесть много моментов, обращайся в личку, помогу

Я сам занимаюсь разработкой под андроид, отметил бы дизайн.
Он несколько прикольный даже, но думаю что стоило бы его сменить.
Советую добавить в приложение многопользовательскую составляющую, это бы задерживало пользователей дольше в приложений.
Вам придётся приложить усилий, чтобы добавить в приложение:
1. Рейтинги пользователей
2. Возможность устраивать сетевые баттлы с другими юзерами
3. Дать пользователям возможность соревноваться с друзьями. Чтобы, к примеру, Петя мог позвать Машу и узнать, кто круче.
4. Добавить другие виды игры.

Посмотрите в GP приложения по типу викторин - отгадай, что на фотке, ответь на вопросы и прочее. Я советую двигаться в эту сторону, ну и соответственно, по дизайну ориентироваться на такие приложения.

Либо же, можете ориентировать пользователей не на игровую составляющую, а на обучающую. Придумать тесты, занятия для изучения русского. А модель распространения выбрать по подписке, или приложение бесплатно, а дополнительные занятия для изучения по теме - за деньги. К примеру, купите пакет по наречиям за 0,99$.

Удачи