Нашел проблему, думаю кому-нибудь пригодится.

Дело в том, что я это приложение, месяц назад, еще в совсем сыром виде, тоже пробовал через PhoneGap установить. Установил. Попробовал. Забыл. Но там база не работала, но уже была запроектирована.

А потом, когда устанавливал новую версию (со значительными доработками) — она конфликтовала со старыми данными от старого приложения.
Удалил все данные от приложения, установил новое — все заработало.
А самое главное — проинспектировать это никак нельзя было, поэтому долго-долго-долго я читал документацию по PhoneGap и искал различия в том что там, и в том что у меня.

Вывод — WEBSQL отлично работает в PhoneGap безо всяких дополнительных пилений — просто скомпилировал три файла через сайт и все.