Самый простой способ, это через css

<style>
	.header .logo span::before {
	  content: 'Полное название фирмы';
	}
	
	@media (max-width: 425px) {
	  .header .logo span::before {
	    content: 'ПНФ';
	  }
	}
</style>

<div class="header">
  <div class="logo">
    <span></span>
  </div>
</div>

Не совсем то, но всё равно https://github.com/michalsnik/aos

Если это какие-то просты данные, по типу имя, номер телефона и т.д, то используйте параметры запроса:

success:  function(response){  
    setTimeout(function() {
        document.location.href = `site.ru/test.php?number=${response.number}&name=${response.name}`;
     },  2000);
}

А если это уже более сложные по своей логике и большие по объёму данные, то используйте локальное хранилище:

success:  function(response){
    localStorage.setItem('some_key', JSON.stringify(response.data));

    setTimeout(function() {
        document.location.href = 'site.ru/test.php';
     },  2000);
}

и соответственно получать эти данные на другой странице:

let helloHabr = JSON.parse(localStorage.getItem('some_key'));