Если это какие-то просты данные, по типу имя, номер телефона и т.д, то используйте параметры запроса:
success: function(response){
setTimeout(function() {
document.location.href = `site.ru/test.php?number=${response.number}&name=${response.name}`;
}, 2000);
}
А если это уже более сложные по своей логике и большие по объёму данные, то используйте локальное хранилище:
success: function(response){
localStorage.setItem('some_key', JSON.stringify(response.data));
setTimeout(function() {
document.location.href = 'site.ru/test.php';
}, 2000);
}
и соответственно получать эти данные на другой странице:
let helloHabr = JSON.parse(localStorage.getItem('some_key'));