SagePtr

А что мешает отдельную ветку сделать и туда изменения пушить? По окончанию работы слить с master

Чтобы такого не вышло, лучше работать в отдельных ветках, потом по завершению их сливать в master и на этом этапе разрешать конфликты.

Через pull request - это для каждого изменения свою ветку создавать от ветки develop, коммитить и пушить её, и её уже подавать на pull request. Исходные ветки master и develop изменяться вручную не должны, в них добавление происходит путём принятия пулл реквеста теми, кто ответственен за это в проекте.

Скриншот у вас в вопросе не вижу, но попробую угадать.
Видимо, исполняемый файл git.exe у вас находится в директории, которая не прописана в переменную окружения PATH.

Если под Windows - То через Панель управления -> Диспечтер учётных данных

Может быть, эти файлы находятся в файле .gitignore, потому игнорируются и не добавляются.

Ветка, в которую коммитили, ветка, которую пушили, и ветка, которую смотрите на гитхабе, точно одинаковые? (по умолчанию ветка master, но может быть, вы где-то её поменяли)

git merge --squash

От юзера, под которым работает ваш PHP-скрипт, который вы дёргаете вебхуком, выполните что-то вроде этого:
ssh-keygen -R hostname
Это избавит от проблемы "Host key verification failed.", но ещё нужно будет наверняка создать ключ, который будет использоваться вашим скриптом для авторизации, а публичную часть ключа добавить в Deploy keys настроек вашего репозитория (по крайней мере на github называется так, у других может называться иначе)