Для правильного вопроса надо знать половину ответа
Вы не понимаете, как работает реактивность Vue.
v-model устанавливает двустороннюю связь между значением поля input и элементом данных name.
При инициализации приложения вы объявляете элемент name со значением null. Это значение и записывается как значение input'а.
Задавайте в данных нужное значение.
Для правильного вопроса надо знать половину ответа
По уму в vue это делается по другому. Напишите свой компонент, который будет содержать input, span и всё, что с ними связано. Потом просто используйте это компонент во всех местах, где требуется.