Rsa97

Для точного восстановления кода по контрольной сумме последняя должна быть размером с архив этого кода.
Как правило, если контрольная сумма не совпадает, то просто выдаётся ошибка и запуск оборудования останавливается. Так поступают, например, BIOS'ы компьютеров. Дальше нужно восстановить код из внешнего источника, это дело для сервисного техника, или внутреннего хранилища (если там всё в порядке), такое есть на материнских платах с двумя чипами BIOS.
Как более сложный вариант - проверять контрольную сумму каждой функции. Если повреждена критическая функция, то останавливать работу, если некритическая, то не вызывать её во время работы.

Стек используется для хранения локальных переменных функции и адреса возврата. Если вы в функции займёте память в стеке, то после возврата из неё эта память освободится, стек вернётся к состоянию до вызова функции, использованная в функции память из стека может быть переписана следующей функцией.
Память, выделенная в куче, может использоваться разными функциями, между которыми передаётся указатель на эту память.

Связано с тем, что у mintty нет ключа -f, это английским по белому в ошибке написано.
Исправить можно убрав этот ключ из командной строки mintty.

Зависит от компилятора и заданных при компиляции опций. Например, при плотной упаковке (#pragma pack(1)) каждый элемент структуры занимает ровно столько, сколько ему необходимо. А при выравнивании на 64 бита (#pragma pack(8)) под каждый элемент выделится память, кратная 8 байтам и достаточная для размещения элемента. Для разных архитектур процессоров могут быть доступны разные настройки выравнивания.

У вас изначально неверная логика. Ваша программа не должна знать конечный результат вычислений. Она должна останавливаться, когда очередной вычисленный член ряда будет по модулю меньше заданной точности.

#include <iostream>
#include <bitset>
...
std::cout << "111 = " << std::bitset<8>(111) << std::endl;

Ключевые слова - максимально возможное количество пар. Значит простой перебор тут не работает, поскольку можно упереться в локальный оптимум и не найти глобального. Нужно перебрать все возможные комбинации пар и найти ту, где простых чисел больше всего.
Пример: при поиске наивным способом для N = 8 получим три пары с простой суммой (1, 2), (3, 4), (5, 6). Оставшаяся пара (7, 8) даст 15, что не является простым числом. Однако, при разбиении (1, 2), (3, 4), (5, 8), (6, 7) получим уже четыре пары с простой суммой.

⌈82⁹ / 100⌉ = 1 676 195 504 097 081 > 2 147 483 647 = 2³¹ - 1
То есть, вы получаете переполнение переменной num_files, там оказывается отрицательное значение и цикл не выполняется ни разу. Вообще, переполнение вы получаете уже начиная с 7 символов, но, видимо, там получаются положительные значения.
Дальше, при 10 символах вы получите уже переполнение total_combinations:
82¹⁰ = 13 744 803 133 596 058 624 > 9 223 372 036 854 775 807 = 2⁶³-1

--  FILE* F = NULL;
--  fopen_s(&F, "out1.txt", "w");
++  FILE * F;
++  errno_t err;
++  err = fopen_s(&F, "out1.txt", "w");
++  if (err != 0) {
++      printf_s("Ошибка создания файла 'out1.txt': %d\n", err);
++      return;
++  }

[1, 2, 1] => x² + 2x - 1
[0, 1, 1] => x + 1
Частное: (x² + 2x - 1) / (x + 1) = x + 1 => [0, 1, 1]
Остаток: (x² + 2x - 1) % (x + 1) = -2 => [0, 0, -2]

1 ⩽ i ⩽ n

Всё достаточно просто.
char str[] = "Hello"; - здесь создаётся массив и инициализируется символами из строки.
const char *str = "Hello"; - здесь создаётся скалярная переменная-указатель и инициализируется указателем на строку в памяти.
const int *mas = { 4, 5, 7, 9 }; - здесь вы пытаетесь создать переменную-указатель, а инициализировать её как массив, что недопустимо.

const char *strArr[] = { "Hello", "world", "and" };

- здесь создаётся массив указателей и инициализируется массивом указателей на строки. Правильно читается как (*strArr)[], а не *(strArr[])