Robur

Кеширование - вторая Большая Проблема IT.
Кешировать можно что угодно, где угодно и как угодно. Ткните пальцем в любой кусок данных, от элемента дом в браузере до блока на жестком диске - и вокруг можно построить кэш. То что кеширует браузер - только капля в море.
А о каком именно кэшировании шла речь в той статье - лучше прочитать в той статье.
Если вам хочется в целом в тему кеширования вникнуть получше - запаситесь парой сотен кг печенек, цистерной чая, попрощайтесь с родными и близкими - и в гугл.

Неправильный способ - взять адрес и сетевую маску (из них можно легко вычислить все возможные адреса) и просканировать сеть, найдя работающие компы.
Правильный - один хост должен посылать в локальную сеть broadcast с определенным интервалом, а другой - слушать и показывать найденную игру.
Простой - получить локальный адрес на втором компе и вывести его пользователю, пользователь просто скажет его другому игроку и тот введет его руками.

Вам нужно расставить приоритеты. У вас очевидно приоритет - подключить Васю во что бы то ни стало, так что правильно или неправильно в вашем случае - не технический вопрос - вам надо в теги про стартапы и обсуждать взаимодействие и пользу фаундеров, как строить отношения и все такое.

По самой схеме nodejs действительно не нужен - потратьте пару дней на то чтобы прочитать как работать с БД из laravel - это будет меньше по усилиям чем прикручивать туда внешнее Васино api и налаживать чтоб это все нормально работало. Судя по всему все остальное вы уже и так взяли на себя, так что польза Васи для проекта крайне сомнительна.

Например так как в документации написано: www.passportjs.org/docs/authorize
поставьте это в статические роуты

Правильно закрывать его при остановке сервера.
Зачем вы на каждый запрос создаете новое подключение к mysql?
Вы пишете express server как cgi скрипт или php, но в express у вас сервер работает все время - откройте одно соединение при старте и не трогайте его пока процесс не будет остановлен.

Если очень сильно хочется сделать именно так как у вас - ждите в контроллере пока все запросы к базе завершатся, и добавьте еще один middleware который будет закрывать соединение после того как все прочие слои отработали.
Но лучше сделать по нормальному.

Даже если вы уберете self - вы каждый раз создете новую функцию, и это займет куда больше памяти.

Вы не о том переживаете. С одной стороны вам правильно сказали - не стоит беспокоиться о self, с другой - это не значит что беспокоиться вообще не стоит. И это не зависит от того как вы пишете код - с классами или без. в функциональном стиле можно легко памяти израсходовать в разы больше не заметив.

Если по сути примера - self у вас будет в замыкании, останется там висеть пока где-то есть живая ссылка на это замыкание, то есть пока где-то есть ссылка на функцию которую вы передаете в helper.method. как только сборщик мусора сможет это все собрать - память освободится. Если ссылки не умирают и вы вызываете эту функцию раз за разом - память закончится даже если вы уберете self вообще.

Тут важно убедиться что у вас нигде нет утечек памяти. Если код такой что должен работать долго, упорно и хорошо, например большие и сложные математические вычисления или важен реалтайм (чтобы сборщик мусора не ставил все внезапно на паузу) - то тут нужны специальные техники, чтобы по максимуму избежать создания любого нового объекта в памяти.

Читайте про сборщик мусора, как он работает и откуда берутся утечки памяти в node.

Зависит от test-runner который используется. Они все могут это делать и у всех в доках написано, как запускать. Обычно просто указывается каталог и маска файла - они запускают все что найдут.

Самый простой способ - взять любой фреймворк где на все это уже ответили и написали служебный код до вас. React, angular, vue. Или хотя бы посмотрите принцип - как на их основе строятся приложения.

Но если хочется прямо все самому - то изучайте архитектуру приложения в принципе. Как работать с данными, как рисовать и обновлять интерфейс, как организовывать код, как решать кучу возникающий технических и прочих моментов. На пару лет развлечения хватит до более-менее нормального результата.

Электрон или нет тут не имеет значения.

Для nodejs - все равно, а для вас как разработчика и для вашего проекта - зависит от ваших навыков и от самого проекта. Раз сомневаетесь - берите MySQL - с ним будет проще, на SQL можно сделать базу данных даже не понимая что такое база данных и оно будет работать.
PS. Есть хорошая библиотека - sequelize.

Когда вы получаете OAuth токен, его можно использовать много раз пока у него не выйдет срок годности или он не будет инвалидирован другим образом